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樣本標準差,怎樣給期權定價?布萊克-舒爾茲模型定價模型(Black

互联网 2021-06-18 04:43:23

自从1973年被三位名声显赫的经济学家-Fischer Black,Myron Scholes, 和Robert Merton提出,布莱克-舒尔兹期权定价模型(Black-Scholes model,以下简称BS model)就成为世界上最有名的以及被广泛认可的期权定价模型。给定几个参数数值,通过带入一个漂亮的公式,便能得到欧式期权的价格。

当然,在衍生品高度发展的今天,对于全球范围内来讲,期权定价公式都不是包打天下的。因为需要具备一定的假设条件等等原因,模型存在一些问题,模型价格也并不能让你在真实市场交易时做出直接判断。但是作为现代期权定价理论的基础,衍生品投资者了解BS model依然是有着极其必要的价值的。

前文也提到了模型假设了几个条件:

l 期权是欧式期权,即在到期前不能被提前行权。

l 标的资产价格服从对数正态分布(lognormal distribution),即标的资产的收益率服从正态分布。

l 期权有效期内并不存在分红(dividend)。

l 期权有效期内,无风险利率和标的资产的波动率(volatility, 其实也就是标准差)是已知而且恒定的。

l 不存在交易成本以及税收成本

l 市场为有效市场。即标的资产价格的波动符合随机漫步。T+1时刻的价格和T时刻的价格独立

l 市场具有充分流动性。任何数量的股票和期权都可以即时成交

BS model的推导需要一些高等数学知识,因为这期训练营还是面对大众的,并且侧重实战与实用,所以也就不花很长的篇幅在这里和大家科普一些高等数学知识了。下面先直接带出公式并解释里面的参数。对于没有红利派发的标的资产的欧式看涨期权来讲:

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那么根据之前课程里已经讲过的期权平价关系(put-call parity),相应的看跌期权的价格为:

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N(x) 为标准正态分布(standard normal distribution)的累积分布函数(cumulative distribution function)

St 是标的资产的现价

K为行权价格

T-t 为离到期日的时间

r 是无风险利率(年化)

σ 是标的资产收益率的波动率,也就是收益率的标准差,此处波动率也为年化。

公式里的参数比较多,大家可能对参数的代入还有点疑惑,下面用一个实例来更好的解释BS model 公式的应用。

假设标的ABC的现价为$62,行权价K为$60,到期日为40天,无风险年化利率是4%,收益率波动率为32%。所以:

St=62;K=60;T-t=40/365(因为公式里r和波动率均为年化,所以到期时间的天数需要转化成年的比例);σ=32%;r-4%;d1=1/(0.32×(40/365)^ (1/2))×{ln (62/60)+[0.04+0.5×(0.32)^2]×(40/365)};所以d1=0.404≈0.4d2=0.404-0.32×(40/365)^(1/2)=0.298≈0.3。根据正态分布的分布函数表可以得到N (0.4)=0.655 4, N (0.3)=0.617 9。

于是代入公式可以得到C=62×0.655 4-60×e^(-0.04×40/365)×0.6179=3.72。知道了欧式call的价格,代入期权平价公式,就可得到Put价格为p=1.46。

到这里,相信读者已经可以通过给定的参数值根绝BS model计算出欧式看涨期权和看跌期权的理论值。如果理论值是精确的,那么应用是显然的。通过之前章节里所说的买入低估的期权,卖出高估的期权,等待到期即可收货无风险利润。于是读者很自然想到通过BS Model计算出的期权价值到底是不是准确的。任何一个定价模型都存在两种风险,第一是交易的人输入了错误的参数,第二则是模型本身是不是有问题或者所依赖的假设条件完全不可能在现实世界得到满足。

在BS model里除了波动率volatility之外的参数都是明确清楚可以通过市场数据直接确认的,而volatility是唯一不确定的变量,所以在公式里又显得尤为重要。那么考虑BS model里的假设条件,其实每一项都难以被满足。所有的交易市场现实中都不具备绝对的流动性,尤其对于期货市场,很大数量的合约被买进或是卖空通过会对市场产生影响。

无风险利率也因为央行的调节而可能随时产生波动。波动率更是因为市场以及对应标的突发事件的发生而可能产生变化。具备这么多弱点,BS model看上去似乎没有什么实用价值。但是大部分有经验的衍生品交易员依然觉得通过某种方法参考定价模型好过完全没有任何模型。

通过BS model, 读者已经能清楚的看到欧式期权的价格由哪些因素决定,波动率在公式里更是尤其重要,因为它是唯一一个不能通过直接观察市场得到的变量。在之后的章节里会对各种波动率做详细讨论。而且也会通过各种复杂的期权组合向读者展示如何在可控风险下尽量大概率的实现盈利。

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自從1973年被三位名聲顯赫的經濟學家-Fischer Black,Myron Scholes, 和Robert Merton提出,布萊克-舒爾茲期權定價模型(Black-Scholes model,以下簡稱BS model)就成為世界上最有名的以及被廣泛認可的期權定價模型。給定幾個參數數值,通過帶入一個漂亮的公式,便能得到歐式期權的價格。

當然,在衍生品高度發展的今天,對於全球範圍內來講,期權定價公式都不是包打天下的。因為需要具備一定的假設條件等等原因,模型存在一些問題,模型價格也並不能讓你在真實市場交易時做出直接判斷。但是作為現代期權定價理論的基礎,衍生品投資者瞭解BS model依然是有着極其必要的價值的。

前文也提到了模型假設了幾個條件:

l 期權是歐式期權,即在到期前不能被提前行權。

l 標的資產價格服從對數正態分佈(lognormal distribution),即標的資產的收益率服從正態分佈。

l 期權有效期內並不存在分紅(dividend)。

l 期權有效期內,無風險利率和標的資產的波動率(volatility, 其實也就是標準差)是已知而且恆定的。

l 不存在交易成本以及税收成本

l 市場為有效市場。即標的資產價格的波動符合隨機漫步。T+1時刻的價格和T時刻的價格獨立

l 市場具有充分流動性。任何數量的股票和期權都可以即時成交

BS model的推導需要一些高等數學知識,因為這期訓練營還是面對大眾的,並且側重實戰與實用,所以也就不花很長的篇幅在這裏和大家科普一些高等數學知識了。下面先直接帶出公式並解釋裏面的參數。對於沒有紅利派發的標的資產的歐式看漲期權來講:

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那麼根據之前課程裏已經講過的期權平價關係(put-call parity),相應的看跌期權的價格為:

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N(x) 為標準正態分佈(standard normal distribution)的累積分佈函數(cumulative distribution function)

St 是標的資產的現價

K為行權價格

T-t 為離到期日的時間

r 是無風險利率(年化)

σ 是標的資產收益率的波動率,也就是收益率的標準差,此處波動率也為年化。

公式裏的參數比較多,大家可能對參數的代入還有點疑惑,下面用一個實例來更好的解釋BS model 公式的應用。

假設標的ABC的現價為$62,行權價K為$60,到期日為40天,無風險年化利率是4%,收益率波動率為32%。所以:

St=62;K=60;T-t=40/365(因為公式裏r和波動率均為年化,所以到期時間的天數需要轉化成年的比例);σ=32%;r-4%;d1=1/(0.32×(40/365)^ (1/2))×{ln (62/60)+[0.04+0.5×(0.32)^2]×(40/365)};所以d1=0.404≈0.4d2=0.404-0.32×(40/365)^(1/2)=0.298≈0.3。根據正態分佈的分佈函數表可以得到N (0.4)=0.655 4, N (0.3)=0.617 9。

於是代入公式可以得到C=62×0.655 4-60×e^(-0.04×40/365)×0.6179=3.72。知道了歐式call的價格,代入期權平價公式,就可得到Put價格為p=1.46。

到這裏,相信讀者已經可以通過給定的參數值根絕BS model計算出歐式看漲期權和看跌期權的理論值。如果理論值是精確的,那麼應用是顯然的。通過之前章節裏所説的買入低估的期權,賣出高估的期權,等待到期即可收貨無風險利潤。於是讀者很自然想到通過BS Model計算出的期權價值到底是不是準確的。任何一個定價模型都存在兩種風險,第一是交易的人輸入了錯誤的參數,第二則是模型本身是不是有問題或者所依賴的假設條件完全不可能在現實世界得到滿足。

在BS model裏除了波動率volatility之外的參數都是明確清楚可以通過市場數據直接確認的,而volatility是唯一不確定的變量,所以在公式裏又顯得尤為重要。那麼考慮BS model裏的假設條件,其實每一項都難以被滿足。所有的交易市場現實中都不具備絕對的流動性,尤其對於期貨市場,很大數量的合約被買進或是賣空通過會對市場產生影響。

無風險利率也因為央行的調節而可能隨時產生波動。波動率更是因為市場以及對應標的突發事件的發生而可能產生變化。具備這麼多弱點,BS model看上去似乎沒有什麼實用價值。但是大部分有經驗的衍生品交易員依然覺得通過某種方法參考定價模型好過完全沒有任何模型。

通過BS model, 讀者已經能清楚的看到歐式期權的價格由哪些因素決定,波動率在公式裏更是尤其重要,因為它是唯一一個不能通過直接觀察市場得到的變量。在之後的章節裏會對各種波動率做詳細討論。而且也會通過各種複雜的期權組合向讀者展示如何在可控風險下儘量大概率的實現盈利。

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